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IME20141a faseQuestao 1PortuguêsGramática e Norma CultaMedia
TEXTO 1 — Escher, o gênio da arte matemática
1 Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C.
2 Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na
3 forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se
4 lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por
5 Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é
6 exatamente o que parece ser. Há, em todas elas, sempre uma surpresa visual ___ espera
7 do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco
8 interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem
9 reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.
10 Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua
11 apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos
12 especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes.
13 Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica
14 para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo,
15 fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos
16 objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde.
17 Também ___ matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar, de
18 maneira perfeita, suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas
19 abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até
20 seres humanos.
21 Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo
22 em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou
23 puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos.
24 Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e
25 eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher.
26 Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto.
27 ____ bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde
28 que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S.
29 Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do
30 artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do
31 catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria
32 sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.
TEXTO 2 — Arte estimula o aprendizado de matemática
1 Resolver operações matemáticas foi difícil para muitos dos gênios da ciência, e
2 continua pouco atraente para muitos alunos em salas de aula. Muita gente pensa em
3 vincular matemática com a arte para tornar o aprendizado mais estimulante.
4 O professor Luiz Barco, da Escola de Comunicações e Artes, da Universidade de São
5 Paulo (USP) é um deles. "Há mais matemática nos livros de Machado de Assis, nos
6 poemas de Cecília Meireles e Fernando Pessoa do que na maioria dos livros didáticos de
7 matemática". Para ele, a matemática captura __ lógica do raciocínio, assim como
8 acontece com o imaginário na literatura, com a harmonia na música, na escultura, na
9 pintura, nas artes em geral.
10 Para o pesquisador Antônio Conde, do Instituto de Matemática e Computação da
11 USP/São Carlos, a convivência entre arte e matemática aumentaria a capacidade de
12 absorção dos estudantes. "O lado estético da matemática é muito forte, a
13 demonstração de um teorema é uma obra de arte", conclui.
14 O holandês Maurits Cornelis Escher é, provavelmente, um dos maiores
15 representantes dessa ligação, produzindo obras de arte geometricamente
16 estruturadas. Ele provou, na prática, que é possível olhar __ formas espaciais do
17 ponto de vista matemático, ou sob o seu aspecto estético, utilizando-as para se
18 expressar plasticamente.
19 "Olhando os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas
20 observações, entro em contato com o mundo da matemática", dizia Escher, que
21 morreu em 1972.
TEXTO 3 — Poesia Matemática (Millôr Fernandes)
1 Às folhas tantas
2 do livro matemático
3 um Quociente apaixonou-se
4 um dia
5 doidamente
6 por uma Incógnita.
7 Olhou-a com seu olhar inumerável
8 e viu-a do ápice __ base
9 uma figura ímpar;
10 olhos romboides, boca trapezoide,
11 corpo retangular, seios esferoides.
12 Fez de sua uma vida
13 paralela à dela
14 até que se encontraram
15 no infinito.
16 "Quem és tu?", indagou ele
17 em ânsia radical.
18 "Sou a soma do quadrado dos catetos.
19 Mas pode me chamar de Hipotenusa."
20 E de falarem descobriram que eram
21 (o que em aritmética corresponde
22 a almas irmãs)
23 primos entre si.
24 E assim se amaram
25 ao quadrado da velocidade da luz
26 numa sexta potenciação
27 traçando
28 ao sabor do momento
29 e da paixão
30 retas, curvas, círculos e linhas senoidais
31 nos jardins da quarta dimensão.
32 Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
33 e os exegetas do Universo Finito.
34 Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
35 E enfim resolveram se casar
36 constituir um lar,
37 mais que um lar,
38 um perpendicular.
39 Convidaram para padrinhos
40 o Poliedro e a Bissetriz.
41 E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
42 sonhando com uma felicidade
43 integral e diferencial.
44 E se casaram e tiveram uma secante e três cones
45 muito engraçadinhos.
46 E foram felizes
47 até aquele dia
48 em que tudo vira afinal
49 monotonia.
50 Foi então que surgiu
51 O Máximo Divisor Comum
52 frequentador de círculos concêntricos,
53 viciosos.
54 Ofereceu-lhe, a ela,
55 uma grandeza absoluta
56 e reduziu-a a um denominador comum.
57 Ele, Quociente, percebeu
58 que com ela não formava mais um todo,
59 uma unidade.
60 Era o triângulo,
61 tanto chamado amoroso.
62 Desse problema ela era uma fração,
63 a mais ordinária.
64 Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
65 e tudo que era espúrio passou a ser
66 moralidade
67 como aliás em qualquer
68 sociedade.
———
Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas dos textos desta prova (linhas 6, 17 e 27 do texto 1; linhas 7 e 16 do texto 2; linha 8 do texto 3).
A)a – há – há – a – às – à.
B)à – a – à – à – às – a.
C)à – há – a – a – as – à.
D)há – à – a – à – às – à.
E)há – à – há – a – as – à.
IME20141a faseQuestao 1MatemáticaTeoria dos números (divisores)Facil
Qual é o menor número?
A)π⋅8!
B)99
C)2222
D)333
E)213⋅53
IME20141a faseQuestao 2PortuguêsInterpretação de textoMedia
TEXTO 1 — Escher, o gênio da arte matemática
1 Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C.
2 Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na
3 forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se
4 lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por
5 Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é
6 exatamente o que parece ser. Há, em todas elas, sempre uma surpresa visual à espera
7 do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco
8 interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem
9 reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.
10 Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua
11 apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos
12 especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes.
13 Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica
14 para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo,
15 fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos
16 objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde.
17 Também há matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar, de
18 maneira perfeita, suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas
19 abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até
20 seres humanos.
21 Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo
22 em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou
23 puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos.
24 Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e
25 eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher.
26 Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto.
27 A bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde
28 que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S.
29 Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do
30 artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do
31 catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria
32 sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.
TEXTO 2 — Arte estimula o aprendizado de matemática
1 Resolver operações matemáticas foi difícil para muitos dos gênios da ciência, e
2 continua pouco atraente para muitos alunos em salas de aula. Muita gente pensa em
3 vincular matemática com a arte para tornar o aprendizado mais estimulante.
4 O professor Luiz Barco, da Escola de Comunicações e Artes, da Universidade de São
5 Paulo (USP) é um deles. "Há mais matemática nos livros de Machado de Assis, nos
6 poemas de Cecília Meireles e Fernando Pessoa do que na maioria dos livros didáticos de
7 matemática". Para ele, a matemática captura a lógica do raciocínio, assim como
8 acontece com o imaginário na literatura, com a harmonia na música, na escultura, na
9 pintura, nas artes em geral.
10 Para o pesquisador Antônio Conde, do Instituto de Matemática e Computação da
11 USP/São Carlos, a convivência entre arte e matemática aumentaria a capacidade de
12 absorção dos estudantes. "O lado estético da matemática é muito forte, a
13 demonstração de um teorema é uma obra de arte", conclui.
14 O holandês Maurits Cornelis Escher é, provavelmente, um dos maiores
15 representantes dessa ligação, produzindo obras de arte geometricamente
16 estruturadas. Ele provou, na prática, que é possível olhar as formas espaciais do
17 ponto de vista matemático, ou sob o seu aspecto estético, utilizando-as para se
18 expressar plasticamente.
19 "Olhando os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas
20 observações, entro em contato com o mundo da matemática", dizia Escher, que
21 morreu em 1972.
———
Assinale a alternativa que traz uma síntese das ideias apresentadas nos textos 1 e 2.
A)A expressão da matemática está restrita à maneira tradicional de se apresentar essa disciplina nas escolas.
B)Os livros didáticos de matemática não ajudam a construir conhecimento matemático.
C)Os artistas dificilmente são capazes de entender e de desenvolver uma equação, embora possam expressar raciocínios de ordem lógica.
D)Todas as escolas deveriam aliar o prazer concedido pelas artes ao ensino de matemática.
E)A escola que desvincula as artes da matemática nega aos alunos uma excelente ferramenta para a construção de conceitos lógicos.
Seja a matriz A=abcbcacab, em que a,b e c são números reais positivos satisfazendo abc=1. Sabe-se que ATA=I, em que AT é a matriz transposta de A e I é a matriz identidade de 3ª ordem. O produto dos possíveis valores de a3+b3+c3 é
A)2
B)4
C)6
D)8
E)10
IME20141a faseQuestao 3MatemáticaConjuntos e princípio da inclusão-exclusãoMedia
Sejam W={y∈R∣2k+1≤y≤3k−5} e S={y∈R∣3≤y≤22}. Qual é o conjunto dos valores de k∈R para o qual W=∅ e W⊆(W∩S)?
A){1≤k≤9}
B){k≤9}
C){6≤k≤9}
D){k≤6}
E)∅
IME20141a faseQuestao 3PortuguêsInterpretação de textoMedia
TEXTO 1 — Escher, o gênio da arte matemática
1 Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C.
2 Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na
3 forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se
4 lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por
5 Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é
6 exatamente o que parece ser. Há, em todas elas, sempre uma surpresa visual à espera
7 do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco
8 interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem
9 reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.
10 Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua
11 apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos
12 especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes.
13 Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica
14 para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo,
15 fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos
16 objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde.
17 Também há matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar, de
18 maneira perfeita, suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas
19 abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até
20 seres humanos.
21 Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo
22 em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou
23 puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos.
24 Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e
25 eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher.
26 Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto.
27 A bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde
28 que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S.
29 Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do
30 artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do
31 catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria
32 sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.
TEXTO 2 — Arte estimula o aprendizado de matemática
1 Resolver operações matemáticas foi difícil para muitos dos gênios da ciência, e
2 continua pouco atraente para muitos alunos em salas de aula. Muita gente pensa em
3 vincular matemática com a arte para tornar o aprendizado mais estimulante.
4 O professor Luiz Barco, da Escola de Comunicações e Artes, da Universidade de São
5 Paulo (USP) é um deles. "Há mais matemática nos livros de Machado de Assis, nos
6 poemas de Cecília Meireles e Fernando Pessoa do que na maioria dos livros didáticos de
7 matemática". Para ele, a matemática captura a lógica do raciocínio, assim como
8 acontece com o imaginário na literatura, com a harmonia na música, na escultura, na
9 pintura, nas artes em geral.
10 Para o pesquisador Antônio Conde, do Instituto de Matemática e Computação da
11 USP/São Carlos, a convivência entre arte e matemática aumentaria a capacidade de
12 absorção dos estudantes. "O lado estético da matemática é muito forte, a
13 demonstração de um teorema é uma obra de arte", conclui.
14 O holandês Maurits Cornelis Escher é, provavelmente, um dos maiores
15 representantes dessa ligação, produzindo obras de arte geometricamente
16 estruturadas. Ele provou, na prática, que é possível olhar as formas espaciais do
17 ponto de vista matemático, ou sob o seu aspecto estético, utilizando-as para se
18 expressar plasticamente.
19 "Olhando os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas
20 observações, entro em contato com o mundo da matemática", dizia Escher, que
21 morreu em 1972.
TEXTO 3 — Poesia Matemática (Millôr Fernandes)
1 Às folhas tantas
2 do livro matemático
3 um Quociente apaixonou-se
4 um dia
5 doidamente
6 por uma Incógnita.
7 Olhou-a com seu olhar inumerável
8 e viu-a do ápice à base
9 uma figura ímpar;
10 olhos romboides, boca trapezoide,
11 corpo retangular, seios esferoides.
12 Fez de sua uma vida
13 paralela à dela
14 até que se encontraram
15 no infinito.
16 "Quem és tu?", indagou ele
17 em ânsia radical.
18 "Sou a soma do quadrado dos catetos.
19 Mas pode me chamar de Hipotenusa."
20 E de falarem descobriram que eram
21 (o que em aritmética corresponde
22 a almas irmãs)
23 primos entre si.
24 E assim se amaram
25 ao quadrado da velocidade da luz
26 numa sexta potenciação
27 traçando
28 ao sabor do momento
29 e da paixão
30 retas, curvas, círculos e linhas senoidais
31 nos jardins da quarta dimensão.
32 Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
33 e os exegetas do Universo Finito.
34 Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
35 E enfim resolveram se casar
36 constituir um lar,
37 mais que um lar,
38 um perpendicular.
39 Convidaram para padrinhos
40 o Poliedro e a Bissetriz.
41 E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
42 sonhando com uma felicidade
43 integral e diferencial.
44 E se casaram e tiveram uma secante e três cones
45 muito engraçadinhos.
46 E foram felizes
47 até aquele dia
48 em que tudo vira afinal
49 monotonia.
50 Foi então que surgiu
51 O Máximo Divisor Comum
52 frequentador de círculos concêntricos,
53 viciosos.
54 Ofereceu-lhe, a ela,
55 uma grandeza absoluta
56 e reduziu-a a um denominador comum.
57 Ele, Quociente, percebeu
58 que com ela não formava mais um todo,
59 uma unidade.
60 Era o triângulo,
61 tanto chamado amoroso.
62 Desse problema ela era uma fração,
63 a mais ordinária.
64 Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
65 e tudo que era espúrio passou a ser
66 moralidade
67 como aliás em qualquer
68 sociedade.
———
Considerando também a xilogravura "Céu e Água", de Escher (reproduzida ao lado), assinale a alternativa cuja afirmação é incoerente quanto às mensagens dos textos e da xilogravura apresentados.
Imagens anexadas
A)A xilogravura "Céu e Água" ilustra muito do que está dito no texto 1.
B)A xilogravura "Céu e Água" e a Poesia Matemática fazem abstrações relacionadas à geometria.
C)O fato de M. C. Escher e Millôr Fernandes produzirem arte relacionada a conceitos matemáticos permite inferências como as dos professores Luiz Barco e Antônio Conde apresentadas no texto 2.
D)A Poesia Matemática de Millôr Fernandes revela sua habilidade para operar números e símbolos matemáticos usados na demonstração de um teorema, por exemplo.
E)O raciocínio lógico pode ser revelado tanto na capacidade de fazer inferências harmoniosas nas artes em geral quanto na habilidade demonstrada na abstração do cálculo.
IME20141a faseQuestao 4PortuguêsInterpretação de textoMedia
TEXTO 1 — Escher, o gênio da arte matemática
1 Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C.
2 Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na
3 forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se
4 lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por
5 Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é
6 exatamente o que parece ser. Há, em todas elas, sempre uma surpresa visual à espera
7 do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco
8 interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem
9 reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.
10 Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua
11 apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos
12 especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes.
13 Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica
14 para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo,
15 fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos
16 objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde.
17 Também há matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar, de
18 maneira perfeita, suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas
19 abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até
20 seres humanos.
21 Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo
22 em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou
23 puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos.
24 Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e
25 eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher.
26 Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto.
27 A bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde
28 que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S.
29 Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do
30 artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do
31 catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria
32 sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.
TEXTO 2 — Arte estimula o aprendizado de matemática
1 Resolver operações matemáticas foi difícil para muitos dos gênios da ciência, e
2 continua pouco atraente para muitos alunos em salas de aula. Muita gente pensa em
3 vincular matemática com a arte para tornar o aprendizado mais estimulante.
4 O professor Luiz Barco, da Escola de Comunicações e Artes, da Universidade de São
5 Paulo (USP) é um deles. "Há mais matemática nos livros de Machado de Assis, nos
6 poemas de Cecília Meireles e Fernando Pessoa do que na maioria dos livros didáticos de
7 matemática". Para ele, a matemática captura a lógica do raciocínio, assim como
8 acontece com o imaginário na literatura, com a harmonia na música, na escultura, na
9 pintura, nas artes em geral.
10 Para o pesquisador Antônio Conde, do Instituto de Matemática e Computação da
11 USP/São Carlos, a convivência entre arte e matemática aumentaria a capacidade de
12 absorção dos estudantes. "O lado estético da matemática é muito forte, a
13 demonstração de um teorema é uma obra de arte", conclui.
14 O holandês Maurits Cornelis Escher é, provavelmente, um dos maiores
15 representantes dessa ligação, produzindo obras de arte geometricamente
16 estruturadas. Ele provou, na prática, que é possível olhar as formas espaciais do
17 ponto de vista matemático, ou sob o seu aspecto estético, utilizando-as para se
18 expressar plasticamente.
19 "Olhando os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas
20 observações, entro em contato com o mundo da matemática", dizia Escher, que
21 morreu em 1972.
TEXTO 3 — Poesia Matemática (Millôr Fernandes)
1 Às folhas tantas
2 do livro matemático
3 um Quociente apaixonou-se
4 um dia
5 doidamente
6 por uma Incógnita.
7 Olhou-a com seu olhar inumerável
8 e viu-a do ápice à base
9 uma figura ímpar;
10 olhos romboides, boca trapezoide,
11 corpo retangular, seios esferoides.
12 Fez de sua uma vida
13 paralela à dela
14 até que se encontraram
15 no infinito.
16 "Quem és tu?", indagou ele
17 em ânsia radical.
18 "Sou a soma do quadrado dos catetos.
19 Mas pode me chamar de Hipotenusa."
20 E de falarem descobriram que eram
21 (o que em aritmética corresponde
22 a almas irmãs)
23 primos entre si.
24 E assim se amaram
25 ao quadrado da velocidade da luz
26 numa sexta potenciação
27 traçando
28 ao sabor do momento
29 e da paixão
30 retas, curvas, círculos e linhas senoidais
31 nos jardins da quarta dimensão.
32 Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
33 e os exegetas do Universo Finito.
34 Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
35 E enfim resolveram se casar
36 constituir um lar,
37 mais que um lar,
38 um perpendicular.
39 Convidaram para padrinhos
40 o Poliedro e a Bissetriz.
41 E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
42 sonhando com uma felicidade
43 integral e diferencial.
44 E se casaram e tiveram uma secante e três cones
45 muito engraçadinhos.
46 E foram felizes
47 até aquele dia
48 em que tudo vira afinal
49 monotonia.
50 Foi então que surgiu
51 O Máximo Divisor Comum
52 frequentador de círculos concêntricos,
53 viciosos.
54 Ofereceu-lhe, a ela,
55 uma grandeza absoluta
56 e reduziu-a a um denominador comum.
57 Ele, Quociente, percebeu
58 que com ela não formava mais um todo,
59 uma unidade.
60 Era o triângulo,
61 tanto chamado amoroso.
62 Desse problema ela era uma fração,
63 a mais ordinária.
64 Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
65 e tudo que era espúrio passou a ser
66 moralidade
67 como aliás em qualquer
68 sociedade.
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Leia atentamente as assertivas a seguir, todas relacionadas aos textos 1, 2 e 3.
I – O fato de Escher não ter sido um bom aluno mostra que ele não tinha aptidão para desenvolver raciocínios abstratos.
II – A ligação entre os conceitos matemáticos desenvolvidos na obra de M. C. Escher é de ordem puramente do acaso, haja vista sua comprovada dificuldade para entender a matemática ensinada na escola.
III – A habilidade de calcular usando números e símbolos expressa uma das maneiras de demonstrar a aquisição de conceitos matemáticos, mas não a única maneira.
IV – A obra de Escher surpreende inclusive os mais renomados catedráticos da matemática por sua inovadora maneira de transformar em arte abstrações matemáticas pensadas habitualmente apenas nos tradicionais ambientes de ensino.
Dentre as afirmativas acima, quais estão corretas?
A)As afirmativas II, III e IV.
B)As afirmativas III e IV somente.
C)As afirmativas I, II e III.
D)A afirmativa III somente.
E)A afirmativa IV somente.
IME20141a faseQuestao 4MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil
Sabe-se que y⋅z⋅z⋅x=x⋅y3⋅z2=z⋅y⋅zx=e, em que e é a base dos logaritmos naturais. O valor de x+y+z é
A)e3+e2+1
B)e2+e−1+e
C)e3+1
D)e3+e−2+e
E)e3+e−2+e−1
IME20141a faseQuestao 5MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMedia
Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 23. Considere que os pontos A,B,C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y=x e y=−x. A área do quadrilátero ABCD é
A)8
B)16
C)316
D)516
E)716
IME20141a faseQuestao 5PortuguêsInterpretação de textoFacil
TEXTO 1 — Escher, o gênio da arte matemática
1 Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C.
2 Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na
3 forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se
4 lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por
5 Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é
6 exatamente o que parece ser. Há, em todas elas, sempre uma surpresa visual à espera
7 do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco
8 interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem
9 reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.
10 Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua
11 apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos
12 especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes.
13 Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica
14 para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo,
15 fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos
16 objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde.
17 Também há matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar, de
18 maneira perfeita, suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas
19 abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até
20 seres humanos.
21 Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo
22 em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou
23 puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos.
24 Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e
25 eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher.
26 Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto.
27 A bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde
28 que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S.
29 Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do
30 artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do
31 catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria
32 sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.
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Quanto ao texto 1, é possível afirmar que
A)busca desvincular a obra de M. C. Escher da matemática, pois esclarece a ignorância do artista quando era aluno em escolas tradicionais.
B)possui um movimento argumentativo que vai de encontro ao desejo de quem pretende valorizar a matemática.
C)coloca em evidência a ligação entre a matemática e a obra de M. C. Escher.
D)subordina a experiência sublime da arte àquela vivenciada pelo aluno que é competente na matemática, tal como é vivenciada nas escolas, em geral.
E)desvincula a matemática do fazer artístico por serem campos distintos do conhecimento.
IME20141a faseQuestao 6PortuguêsInterpretação de textoMedia
TEXTO 2 — Arte estimula o aprendizado de matemática
1 Resolver operações matemáticas foi difícil para muitos dos gênios da ciência, e
2 continua pouco atraente para muitos alunos em salas de aula. Muita gente pensa em
3 vincular matemática com a arte para tornar o aprendizado mais estimulante.
4 O professor Luiz Barco, da Escola de Comunicações e Artes, da Universidade de São
5 Paulo (USP) é um deles. "Há mais matemática nos livros de Machado de Assis, nos
6 poemas de Cecília Meireles e Fernando Pessoa do que na maioria dos livros didáticos de
7 matemática". Para ele, a matemática captura a lógica do raciocínio, assim como
8 acontece com o imaginário na literatura, com a harmonia na música, na escultura, na
9 pintura, nas artes em geral.
10 Para o pesquisador Antônio Conde, do Instituto de Matemática e Computação da
11 USP/São Carlos, a convivência entre arte e matemática aumentaria a capacidade de
12 absorção dos estudantes. "O lado estético da matemática é muito forte, a
13 demonstração de um teorema é uma obra de arte", conclui.
14 O holandês Maurits Cornelis Escher é, provavelmente, um dos maiores
15 representantes dessa ligação, produzindo obras de arte geometricamente
16 estruturadas. Ele provou, na prática, que é possível olhar as formas espaciais do
17 ponto de vista matemático, ou sob o seu aspecto estético, utilizando-as para se
18 expressar plasticamente.
19 "Olhando os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas
20 observações, entro em contato com o mundo da matemática", dizia Escher, que
21 morreu em 1972.
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Assinale a alternativa que contém uma inferência alheia ao movimento argumentativo do texto 2.
A)A dificuldade que alguns gênios da ciência apresentam para resolver operações matemáticas pode ser um sinal de que o ensino de matemática deveria ser feito também mostrando a lógica em outras áreas do saber.
B)Em geral, o ensino de matemática nas escolas costuma ser pouco atraente.
C)As formas espaciais podem ser consideradas uma expressão plástica da matemática que, desse modo, deixaria de ser percebida como uma linguagem somente traduzível em números.
D)A literatura, a música e as artes plásticas não abdicam da lógica como comumente se acredita.
E)Se não fosse possível perceber a matemática que atravessa o trabalho de M. C. Escher, todo o valor de sua obra se perderia.
IME20141a faseQuestao 6MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil
Em um quadrilátero ABCD, os ângulos AB^C e CD^A são retos. Considere que sen(BD^C) e sen(BC^A) sejam as raízes da equação x2+bx+c=0, onde b,c∈R. Qual a verdadeira relação satisfeita por b e c?
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