Prova · IME 2007

Prova IME 2007: questões por disciplina

As 40 questões da prova 2007 do IME, organizadas por disciplina. Veja o que mais caiu e treine de graça com correção e comentário.

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O que caiu na prova 2007

40 questões

Física38% · 15 questões
Matemática38% · 15 questões
Química25% · 10 questões

Questões da prova IME 2007

40 no total

Uma amostra das questões. Crie uma conta para resolver todas com correção e comentário.

IME20071a faseQuestao 1MatemáticaNúmeros complexosMedia

Sejam

z

w

números complexos tais que:

{w^{2} - z^{2} = 4 + 12 i \overline{z} - \overline{w} = 2 + 4 i

onde

\overline{z}

\overline{w}

representam, respectivamente, os números complexos conjugados de

z

w

. O valor de

z + w

é:

A) $1 - i$
B) $2 + i$
C) $- 1 + 2 i$
D) $2 - 2 i$
E) $- 2 + 2 i$

IME20071a faseQuestao 2MatemáticaTeoria dos números (divisores)Media

Seja

N

um número inteiro de 5 algarismos. O número

P

é construído agregando-se o algarismo 1 à direita de

N

e o número

Q

é construído agregando-se o algarismo 1 à esquerda de

N

. Sabendo-se que

P

é o triplo de

Q

, o algarismo das centenas do número

N

é:

IME20071a faseQuestao 3MatemáticaProgressõesMedia

Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por

n

vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando

n \to \infty

, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:

Imagens anexadas

A)4
B)6
C)8
D)10
E)12

IME20071a faseQuestao 4MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

r_{1}

r_{2}

são raízes reais distintas de

x^{2} + p x + 8 = 0

, é correto afirmar que:

A) $∣ r_{1} + r_{2} ∣ > 42$
B) $∣ r_{1} + r_{2} ∣ < 2$
C) $∣ r_{1} ∣ \geq 2$ e $∣ r_{2} ∣ \geq 2$
D) $∣ r_{1} ∣ \geq 3$ e $∣ r_{2} ∣ \leq 1$
E) $∣ r_{1} ∣ < 1$ e $∣ r_{2} ∣ < 2$

IME20071a faseQuestao 5MatemáticaSistemas de equaçõesMedia

Considere o sistema de equações dado por:

⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = b_{1} 2 x - y + 3 z = b_{2} 5 x - y + a z = b_{3}

Sendo

b_{1}

b_{2}

b_{3}

valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua solução única é:

A) $a = 0$
B) $a \neq = 2$
C) $a \neq = 8$
D) $a \neq = b_{1} + b_{2} - b_{3}$
E) $a = 2 b_{1} - b_{2} + 3 b_{3}$

IME20071a faseQuestao 6MatemáticaOperações e otimizaçãoFacil

Seja

f : R \to R

, onde

R

é o conjunto dos números reais, tal que:

{f (4) = 5 f (x + 4) = f (x) \cdot f (4)

O valor de

f (- 4)

é:

A) $- \frac{4}{5}$
B) $- \frac{1}{4}$
C) $- \frac{1}{5}$
D) $\frac{1}{5}$
E) $\frac{4}{5}$

IME20071a faseQuestao 7MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:

A)288
B)455
C)480
D)910
E)960

IME20071a faseQuestao 8MatemáticaDeterminantesMedia

Seja a matriz

D

dada por:

D = 1 p sen \hat{P} 1 q sen \hat{Q} 1 r sen \hat{R}

na qual

p

q

r

são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, respectivamente,

\hat{P}

\hat{Q}

\hat{R}

. O valor do determinante de

D

é:

A) $- 1$
B) $0$
C) $1$
D) $π$
E) $p + q + r$

IME20071a faseQuestao 9MatemáticaLogaritmos e funçõesFacil

Sabendo que

lo g 2 = 0, 3010

lo g 3 = 0, 4771

lo g 5 = 0, 6989

, o menor número entre as alternativas abaixo é:

A) $4^{30}$
B) $9^{24}$
C) $2 5^{40}$
D) $8 1^{20}$
E) $62 5^{15}$

IME20071a faseQuestao 10MatemáticaOperações e otimizaçãoFacil

Considere os conjuntos

A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

, e seja a função

f : A \to B

tal que:

f (x, y) = x + y

É possível afirmar que

f

é uma função:

A)injetora
B)sobrejetora
C)bijetora
D)par
E)ímpar

IME20071a faseQuestao 11MatemáticaGeometria espacialMedia

O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular de volume

V

é:

A) $\frac{V}{2}$
B) $\frac{V}{4}$
C) $\frac{V}{8}$
D) $V \frac{2}{2}$
E) $V \frac{3}{2}$

IME20071a faseQuestao 12MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja

p (x) = α x^{3} + β x^{2} + γ x + δ

um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de uma progressão aritmética de razão 2. Sabendo que

p (- 1) = - 1

p (0) = 0

p (1) = 1

, os valores de

α

γ

são, respectivamente:

A) $2$ e $- 1$
B) $3$ e $- 2$
C) $- 1$ e $2$
D) $- \frac{1}{3}$ e $\frac{4}{3}$
E) $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$

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