Polinômios e identidades · ITA

Polinômios e identidades: questões do ITA

34 questões de Polinômios e identidades (Matemática) no ITA (2008–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Polinômios e identidades no ITA

34 no total

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ITA20261a faseQuestao 8MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Seja

p (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d

um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de

p (x)

são reais e, para todo

x \in R

p (2 + x) = - p (2 - x),

então o menor valor possível para

p (0)

A) $- 10$
B) $- 8$
C) $- 6$
D) $- 4$
E) $- 2$

ITA20251a faseQuestao 10MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Uma raiz comum aos polinômios

p (x) = x^{5} - x^{3} + 12 x - 18

q (x) = x^{4} - x^{3} + 5 x - 3

A) $- 1 + 2 i$ .
B) $2 + 2 i$ .
C) $2 + i$ .
D) $1 + 2 i$ .
E) $- 2 + i$ .

ITA20241a faseQuestao 41MatemáticaPolinômios e identidadesMuito dificil

Considere o conjunto

C = {1, 2, 3, 4, 5}

. Para cada escolha possível de

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in C

, dois a dois distintos, formamos o polinômio

a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} .

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

A) $- \frac{17125}{4}$
B) $- 1800$
C) $- 360$
D) $- \frac{351}{2}$
E) $- \frac{101}{4}$

ITA20241a faseQuestao 42MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

O valor de

k \in R

de modo que as raízes do polinômio

p (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + k

estejam em progressão geométrica é:

A) $- 18$
B) $- 16$
C) $- 8$
D) $- 2$
E) $- 1$

ITA20231a faseQuestao 40MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

A média harmônica de

n

números reais positivos

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

H = \frac{n}{\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}} .

Sabendo que o polinômio

p (x) = 30 x^{3} - 113 x^{2} + 108 x - 30

possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de

p (x)

é:

A) $\frac{2}{3}$ .
B) $\frac{5}{18}$ .
C) $\frac{5}{6}$ .
D) $1$ .
E) $3$ .

ITA20221a faseQuestao 45MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Considere o polinômio

p (z) = z^{4} - 6 z^{3} + 14 z^{2} - 6 z + 13

e note que

p (i) = 0

. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de

p (z)

. Podemos afirmar que a área desse quadrilátero é

A)4
B)6
C)8
D)9
E)10

ITA20211a faseQuestao 55MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Seja

p (x)

um polinômio com coeficientes inteiros tal que

p (51) = 391

0 \leq p (3) < 12

. Então,

p (3)

é igual a:

A)5.
B)6.
C)7.
D)8.
E)9.

ITA20201a faseQuestao 48MatemáticaPolinômios e identidadesMuito dificil

Considere o polinômio

p (x) = x^{3} - m x^{2} + x + 5 + n

, sendo

m, n

números reais fixados. Sabe-se que toda raiz

z = a + bi

, com

a, b \in R

, da equação

p (z) = 0

satisfaz a igualdade

a = m b^{2} + nb - 1

. Então, a soma dos quadrados das raízes de

p (x) = 0

é igual a

A)6
B)7
C)8
D)9
E)10

ITA20201a faseQuestao 50MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja

p (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: I.

p (x)

é divisível por

x^{2} - 4

; II. a soma das raízes de

p (x)

é igual a

1

; III. o produto das raízes de

p (x)

é igual a

3

; IV.

p (- 1) = - \frac{15}{4}

; então,

p (1)

é igual a

A) $- \frac{17}{2}$
B) $- \frac{19}{4}$
C) $- \frac{3}{2}$
D) $\frac{9}{4}$
E) $\frac{9}{2}$

ITA20191a faseQuestao 38MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Seja

p (x) = x^{3} + a x^{2} + b x

um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de

p (x)

é igual a

A)9
B)8
C)3
D) $\frac{9}{2}$
E)10

ITA20191a faseQuestao 48MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Considere as seguintes afirmações: I. se

x_{1}

x_{2}

x_{3}

são as raízes da equação

x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 = 0

, então

y_{1} = x_{2} x_{3}

y_{2} = x_{1} x_{3}

y_{3} = x_{1} x_{2}

são as raízes da equação

y^{3} - y^{2} - 4 y - 4 = 0

. II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. III.

\frac{3 + 5}{2} = \frac{1 + 5}{2}

. É(são) VERDADEIRA(S)

A)apenas I.
B)apenas II.
C)apenas III.
D)apenas II e III.
E)todas.

ITA20181a faseQuestao 2MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

x

é um número real que satisfaz

x^{3} = x + 2

, então

x^{10}

é igual a

A) $5 x^{2} + 7 x + 9$ .
B) $3 x^{2} + 6 x + 8$ .
C) $13 x^{2} + 16 x + 12$ .
D) $7 x^{2} + 5 x + 9$ .
E) $9 x^{2} + 3 x + 10$ .

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