Geometria analítica: reta e mediatriz · ITA

Geometria analítica: reta e mediatriz: questões do ITA

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Questões de Geometria analítica: reta e mediatriz no ITA

37 no total

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ITA20261a faseQuestao 9MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere a reta

r : 3 x + 4 y = - 15

e a parábola

P : y = x^{2} + x + 6

com vértice

V

. Seja

t

a reta tangente a

P

, que tem coeficiente angular negativo e forma um ângulo de

4 5^{\circ}

com

r

. Sendo

A

o ponto de tangência de

t

P

B

o ponto de interseção de

r

t

, a área do triângulo

A B V

A) $\frac{13}{500}$
B) $\frac{25}{4}$
C) $\frac{105}{8}$
D) $\frac{147}{8}$
E) $\frac{126}{5}$

ITA20261a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere

m \in R

positivo. A sequência

r_{k}

é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão

q

e termo inicial

r_{1} = q

. As circunferências

C_{k} : (x - r_{k})^{2} + (y - m r_{k})^{2} = r_{k}^{2}

são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem. A expressão de

q

em função de

m

A) $\frac{m ^{2} + 1 + 1}{m}$
B) $(\frac{m ^{2} + 1 + 1}{m})^{2}$
C) $\frac{m ^{2} + 1 - 1}{m}$
D) $(\frac{m ^{2} + 1 - 1}{m})^{2}$
E) $\frac{m ^{2} + 1}{m}$

ITA20251a faseQuestao 11MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Seja

H

uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse

E : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

. Seja

P

um ponto de intersecção de

E

H

no primeiro quadrante e

O

a origem do sistema cartesiano. Sabendo que

\overline{O P}

forma um ângulo

θ

com o eixo horizontal

O x

, com

tan (θ) = \frac{3}{6}

, a excentricidade de

H

A) $\frac{2 3}{3}$ .
B) $\frac{6}{2}$ .
C) $\frac{3 3}{4}$ .
D) $\frac{2 6}{3}$ .
E) $\frac{3 3}{2}$ .

ITA20241a faseQuestao 47MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMuito dificil

Considere o triângulo de vértices

A = (0, 0)

B = (2, 3)

C = (\frac{5}{2} 2, 0)

. A equação da reta que passa por

B

e é perpendicular à bissetriz do ângulo

A \hat{B} C

é:

A) $y = (5 - 26) x + 53 - 52$
B) $y = (5 + 26) x - 33 - 52$
C) $y = (5 - 6) x + 33 - 52$
D) $y = - (5 + 26) x + 53 + 52$
E) $y = (- 5 + 26) x - 33 + 52$

ITA20241a faseQuestao 48MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMuito dificil

Considere a elipse dada pela equação

λ x^{2} + (λ + 4) y^{2} - 4 λ x - (10 λ + 40) y + 25 (λ + 4) - λ^{2} = 0,

e o círculo de equação

x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 y + 36 = 0.

Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de

λ \in R - {- 4, 0}

quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:

A)3.
B)5.
C)9.
D)13.
E)15.

ITA20231a faseQuestao 44MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere a hipérbole

H

de equação

x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1

. Seja

T

um triângulo de vértices

P

F_{1}

F_{2}

, onde

F_{1}

F_{2}

são os focos de

H

P

um ponto em

H

. Sabendo que o perímetro de

T

55

, o produto da medida dos lados de

T

é:

A) $\frac{41 5}{2}$ .
B) $\frac{41}{4}$ .
C) $\frac{41 5}{4}$ .
D) $\frac{41}{8}$ .
E) $\frac{41 5}{8}$ .

ITA20221a faseQuestao 48MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Seja

b \in R

tal que a equação

x^{2} - 6 b x - (1 - b^{2}) (y^{2} - 2 b y) + b^{4} + 8 b^{2} - 1 = 0

determina uma hipérbole. Com respeito ao centro

C

desta hipérbole podemos afirmar:

A) $C \in {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} /9 + y^{2} /12 < 1}$ .
B) $C \in {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} /4 + y^{2} /2 > 1}$ .
C) $C \in {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} /9 - y^{2} /2 < 1}$ .
D) $C \in {(x, y) \in R^{2} ∣ 3 x^{2} - 2 y^{2} > 1}$ .
E)Nenhuma das alternativas anteriores.

ITA20211a faseQuestao 43MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Os vértices da base de um triângulo isósceles

P QR

, inscrito numa circunferência de centro

O = (5, 0)

, são

P = (4, 22)

Q = (8, 0)

. Se o vértice

R

pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo

P QR

é igual a:

A) $2 (3 - 3)$ .
B) $3 (3 + 3)$ .
C) $3 (3 - 3)$ .
D) $6 (3 + 3)$ .
E) $6 (3 - 3)$ .

ITA20211a faseQuestao 44MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMedia

Considere a curva plana definida pela equação

9 x^{2} + 4 y^{2} + 36 x + 24 y + 36 = 0

. O ponto

P = (0, 0)

é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:

A) $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$ .
B) $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ .
C) $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ .
D) $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 13$ .
E) $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 13$ .

ITA20201a faseQuestao 44MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Duas curvas planas

c_{1}

c_{2}

são definidas pelas equações

c_{1} : 16 x^{2} + 9 y^{2} - 224 x - 72 y + 640 = 0

c_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 13 = 0

. Sejam

P

Q

os pontos de interseção de

c_{1}

com o eixo

x

R

S

os pontos de interseção de

c_{2}

com o eixo

y

. A área do quadrilátero convexo de vértices

P

Q

R

S

é igual a

A) $15 + 73$
B) $15 - 73$
C) $15 + 143$
D) $15 - 143$
E) $25 + 103$

ITA20201a faseQuestao 51MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Os pontos

B = (1, 1 + 62)

C = (1 + 62, 1)

são vértices do triângulo isósceles

A B C

de base

B C

, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede

3

, então as coordenadas do vértice

A

são

A) $(72, 72)$
B) $(2, 2)$
C) $(1 + 72, 1 + 72)$
D) $(1 + 2, 1 + 2)$
E) $(1 + 62, 1 + 62)$

ITA20191a faseQuestao 39MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMedia

Seja

γ

a circunferência de equação

x^{2} + y^{2} = 4

. Se

r

s

são duas retas que se interceptam no ponto

P = (1, 3)

e são tangentes a

γ

, então o cosseno do ângulo entre

r

s

é igual a

A) $\frac{1}{5}$
B) $\frac{7}{7}$
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{2}{2}$
E) $\frac{2 6}{5}$

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