Análise combinatória · ITA

Análise combinatória: questões do ITA

16 questões de Análise combinatória (Matemática) no ITA (2012–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Análise combinatória no ITA

16 no total

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ITA20261a faseQuestao 11MatemáticaAnálise combinatóriaMedia

Seja

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

. A quantidade de bijeções

F : A \to A

que satisfazem

F (1) < F (5) < F (3)

F (7) < F (2)

A) $3360$
B) $4200$
C) $5040$
D) $5880$
E) $6720$

ITA20251a faseQuestao 3MatemáticaAnálise combinatóriaMedia

O termo independente da expansão de

(x + \frac{1}{x})^{6} (x - \frac{2}{x})^{5}

A)-18.
B)-12.
C)0.
D)12.
E)18.

ITA20241a faseQuestao 40MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Considere o conjunto:

A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} .

Qual o menor

n \in N

tal que todo subconjunto de

A

com

n

elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja

256

A) $n = 5$
B) $n = 6$
C) $n = 7$
D) $n = 8$
E) $n = 9$

ITA20231a faseQuestao 45MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais moedas permanecem para o próximo lançamento. O jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas. A probabilidade de o jogo durar mais do que três rodadas, se for iniciado com quatro moedas, é:

A) $1341/4096$ .
B) $1695/4096$ .
C) $2049/4096$ .
D) $2401/4096$ .
E) $2755/4096$ .

ITA20231a faseQuestao 48MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Na expansão de

[1 + x^{2} - x^{3} + x^{4}]^{10}

, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é:

A) $114$ .
B) $228$ .
C) $342$ .
D) $456$ .
E) $570$ .

ITA20221a faseQuestao 51MatemáticaAnálise combinatóriaMedia

Dizemos que a representação binária de um número

N \in N

da forma

N = g \cdot 2^{0} + f \cdot 2^{1} + e \cdot 2^{2} + d \cdot 2^{3} + c \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{5} + a \cdot 2^{6}

(ab c d e f g)_{2}

, onde

a, b, c, d, e, f, g \in {0, 1}

e omitem-se os algarismos

0

até o primeiro algarismo

1

da esquerda para a direita. Seja

k

um número inteiro tal que

1 \leq k \leq 100

. Qual a probabilidade de

k

k + 1

terem representações binárias com um número distinto de algarismos?

A)2%.
B)4%.
C)6%.
D)8%.
E)10%.

ITA20221a faseQuestao 52MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Seja

A

o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo

C

. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de

A

, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice de

C

é:

A) $4/9$ .
B) $1/2$ .
C) $2/3$ .
D) $1/14$ .
E) $3/7$ .

ITA20211a faseQuestao 52MatemáticaAnálise combinatóriaMedia

Um dodecaedro regular tem

12

faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se

2

vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:

A) $\frac{15}{100}$ .
B) $\frac{3}{19}$ .
C) $\frac{15}{190}$ .
D) $\frac{5}{12}$ .
E) $\frac{2}{5}$ .

ITA20211a faseQuestao 53MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Pretende-se distribuir

48

balas em

4

tigelas designadas pelas letras

A

B

C

D

. De quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos

3

balas e a tigela

B

contenha a mesma quantidade que a tigela

D

A)190.
B)361.
C)722.
D)1083.
E)1444.

ITA20201a faseQuestao 55MatemáticaAnálise combinatóriaMuito dificil

Considere o conjunto

M (n, k)

de todas as matrizes quadradas de ordem

n \times n

, com exatamente

k

elementos iguais a

1

, e os demais iguais a

0

(zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes

L \in M (3, 1)

R \in M (4, 2)

, a probabilidade de que

L^{2} = 0

R^{2} = 0

é igual a

A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{1}{5}$
C) $\frac{4}{15}$
D) $\frac{13}{30}$
E) $\frac{29}{30}$

ITA20181a faseQuestao 3MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Sejam

a

b

números inteiros positivos. Se

a

b

são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão

\frac{1}{2}

e o termo independente de

(a x - \frac{b}{x})^{12}

é igual a

7920

, então

a + b

A) $2$ .
B) $3$ .
C) $4$ .
D) $5$ .
E) $6$ .

ITA20181a faseQuestao 6MatemáticaAnálise combinatóriaDificil

Sobre duas retas paralelas

r

s

são tomados

13

pontos,

m

pontos em

r

n

pontos em

s

, sendo

m > n

. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é

\frac{15}{11}

. Então, os valores de

n

m

são, respectivamente,

A) $2$ e $11$ .
B) $3$ e $10$ .
C) $4$ e $9$ .
D) $5$ e $8$ .
E) $6$ e $7$ .

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