Trigonometria e vetores · IME

Trigonometria e vetores: questões do IME

24 questões de Trigonometria e vetores (Matemática) no IME (2009–2024). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Trigonometria e vetores no IME

24 no total

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IME20241a faseQuestao 11MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

O valor de

n \in N

tal que

arctg (\frac{1}{3}) + arctg (\frac{1}{4}) + arctg (\frac{1}{5}) + arctg (\frac{1}{n}) = \frac{π}{4}

é:

A) $10$
B) $6$
C) $7$
D) $47$
E) $52$

IME20231a faseQuestao 4MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

A equação

arctg (z) + arctg (z + 1) = arctg (\frac{4}{3})

, em que

arctg (x)

é o arco tangente de

x

, apresenta:

A)duas soluções reais sendo uma positiva e outra negativa.
B)duas soluções reais positivas.
C)duas soluções reais negativas.
D)uma única solução real, sendo esta positiva.
E)uma única solução real, sendo esta negativa.

IME20231a faseQuestao 11MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

Um aluno distraído desmontou um relógio. Ao remontá-lo, trocou a posição dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o relógio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que contém o horário

t

que marcará a hora certa novamente pela primeira vez é:

A) $4 h 30 min ⩽ t < 5 h$
B) $5 h ⩽ t < 5 h 30 min$
C) $5 h 30 min ⩽ t < 6 h$
D) $6 h ⩽ t < 6 h 30 min$
E) $6 h 30 min ⩽ t < 7 h 10 min$

IME20221a faseQuestao 12MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

Para cada número

n

natural, seja a função real

f_{n} (x)

definida para cada

x \in R

, tal que

x \neq = (k + 1) π /2, \forall k \in Z

, de forma que:

f_{n} (x) = \frac{[ tg ( x ) ] ^{n} + 1}{n [ sec ( x ) ] ^{n}}

A função

g (x)

que atende

g (x) = f_{6} (x) - f_{4} (x) + \frac{1}{3}

é:

A) $cos (x) + 3$
B) $\frac{1}{4}$
C) $sen (x) - 2$
D) $\frac{1}{12}$
E) $tg (x) - \frac{1}{3}$

IME20211a faseQuestao 13MatemáticaTrigonometria e vetoresMuito dificil

Seja a equação

2 sen^{2} (e^{θ}) - 43 sen (e^{θ}) cos (e^{θ}) - cos (2 e^{θ}) = 1

θ \in R_{+}

. O menor valor de

θ

que é raiz da equação é:

A) $ln (\frac{π}{6})$
B) $ln (\frac{π}{3})$
C) $ln (\frac{5 π}{6})$
D) $ln (\frac{π}{12})$
E) $ln (\frac{5 π}{12})$

IME20201a faseQuestao 11MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

Todos os arcos entre

0

2 π

radianos que satisfazem a desigualdade

sen x - \frac{1}{2} > cos x + \frac{3}{2}

estão compreendidos entre:

A) $\frac{π}{12}$ e $\frac{π}{6}$
B) $\frac{5 π}{12}$ e $\frac{7 π}{12}$
C) $\frac{2 π}{3}$ e $\frac{5 π}{6}$
D) $\frac{π}{3}$ e $\frac{π}{2}$
E) $\frac{5 π}{6}$ e $\frac{11 π}{12}$

IME20191a faseQuestao 11MatemáticaTrigonometria e vetoresMedia

Seja um triângulo

A B C

com lados

a

b

c

opostos aos ângulos

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

, respectivamente. Os lados

a

b

c

formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

A) $2 sen (\hat{A} + \hat{C}) = sen (\hat{A}) + sen (\hat{C})$
B) $2 cos (\hat{A} + \hat{C}) = cos (\hat{A}) + cos (\hat{C})$
C) $2 sen (\hat{A} - \hat{C}) = sen (\hat{A}) - sen (\hat{C})$
D) $2 cos (\hat{A} - \hat{C}) = cos (\hat{A}) - cos (\hat{C})$
E) $2 cos (\hat{A} + \hat{C}) = sen (\hat{A}) + sen (\hat{C})$

IME20181a faseQuestao 12MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

A menor raiz real positiva da equação

arctg (x \cdot tg (arcsen \frac{3}{5})) = \frac{2 π}{x + 2}

encontra-se no intervalo:

A) $(0, 1]$
B) $(1, 2]$
C) $(2, 3]$
D) $(3, 4]$
E) $(4, 5]$

IME20171a faseQuestao 5MatemáticaTrigonometria e vetoresMedia

Calcule o valor de

\frac{sen ^{4} α + cos ^{4} α}{sen ^{6} α + cos ^{6} α}

, sabendo-se que

sen α cos α = \frac{1}{5}

A) $\frac{22}{21}$
B) $\frac{23}{22}$
C) $\frac{25}{23}$
D) $\frac{13}{12}$
E) $\frac{26}{25}$

IME20161a faseQuestao 11MatemáticaTrigonometria e vetoresMedia

Seja a equação

\frac{sen ( 2 x )}{tg x} = \frac{1}{2}

. As soluções dessa equação para

x \in [- \frac{π}{2}, π]

formam um polígono no círculo trigonométrico de área

A) $\frac{3}{2}$
B) $3$
C) $\frac{5 3}{8}$
D) $\frac{1}{2}$
E) $1$

IME20161a faseQuestao 14MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

Em um triângulo

A B C

, o ponto

D

é o pé da bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

. Sabe-se que

\overline{A C} = \overline{A D}

r = \frac{A B}{A C}

e que

\hat{C} = α

. Portanto o valor de

sen^{2} α

A) $\frac{3 r - 1}{4}$
B) $\frac{3 r - 1}{4 r}$
C) $\frac{r + 3}{4}$
D) $\frac{3 r + 1}{4 r}$
E) $\frac{3 r + 1}{4}$

IME20151a faseQuestao 1MatemáticaTrigonometria e vetoresMedia

Os lados

a

b

c

de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

, respectivamente. Determine o valor da expressão:

\frac{cos \frac{A ^ - C ^}{2}}{cos \frac{A ^ + C ^}{2}}

A) $2$
B)2
C) $22$
D)3
E)4

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