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Progressões: questões do IME

20 questões de Progressões (Matemática) no IME (2007–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Progressões no IME

20 no total

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IME20261a faseQuestao 1MatemáticaProgressõesMedia

Seja

D = {x ∣ x \in (- 1, 0) \cup (0, 1)}

a \in R^{*}

f : D \to R

, tal que

f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a x^{k - 1}

. Então, para

m \in D

\frac{f ( m ) + f ( - m )}{f ( m ) f ( - m )}

é igual a:

A) $\frac{1}{a}$
B) $\frac{2}{a m ^{2}}$
C) $\frac{a}{2}$
D) $\frac{2}{a}$
E) $2 a m^{2}$

IME20261a faseQuestao 8MatemáticaProgressõesDificil

Sejam as sequências crescentes

S_{n}

n \in N^{*}

, formadas por

n

ímpares consecutivos, tais que

S_{1} = (1)

S_{2} = (3, 5)

S_{k}

inicia no menor ímpar que não pertence a

S_{j}

, para todo

j < k

. A soma de todos os termos de

S_{2025}

é:

A) $202 5^{3}$
B) $2024 \cdot 202 5^{2}$
C) $2025 \cdot 202 4^{2}$
D) $1012 \cdot 202 5^{2}$
E) $202 4^{3}$

IME20241a faseQuestao 7MatemáticaProgressõesMedia

Seja uma matriz com

100

linhas e

100

colunas. O elemento da linha

i

e coluna

j

é denotado por

a_{i, j}

. Os elementos da matriz formam uma progressão aritmética (PA) de razão

5

. O primeiro termo da progressão é o elemento

a_{1, 1}

e tem seu valor igual a

10

. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e, concluída uma linha, passa-se para a próxima. Se

n

é o traço da matriz, a soma dos algarismos de

n

é:

A) $10$
B) $19$
C) $23$
D) $28$
E) $32$

IME20221a faseQuestao 2MatemáticaProgressõesDificil

Seja

B

o conjunto de todos os valores de

x \in R

para os quais a soma dos termos da progressão

- \frac{4}{3 x}, \frac{16}{9 x ^{2}}, - \frac{64}{27 x ^{3}}, \frac{256}{81 x ^{4}}, \dots

assume um valor finito. Define-se a função

f : B \to R

, para cada

x \in B

, tal que

f (x) = - \frac{4}{3 x} + \frac{16}{9 x ^{2}} - \frac{64}{27 x ^{3}} + \frac{256}{81 x ^{4}} - \dots

A soma das raízes da equação

f (x) = - x

x \in B

, é:

A) $0$
B) $- 2$
C) $- \frac{4}{3}$
D) $\frac{2}{3}$
E) $\frac{4}{3}$

IME20221a faseQuestao 9MatemáticaProgressõesMedia

Considere o quadrado de lado

L

apresentado na Figura A. A operação de corte consiste em dividir o quadrado em

3 \times 3

quadrados iguais e retirar os quatro quadrados centrais das bordas, mantendo os quatro dos cantos e o central (Figura B). Repetindo a operação em cada quadrado remanescente, obtém-se a Figura C, e assim sucessivamente. Qual será a área remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao final de

10

operações?

Imagens anexadas

A) $\frac{5 ^{9} L ^{2}}{9 ^{9}}$
B) $\frac{5 ^{10} L ^{2}}{9 ^{10}}$
C) $\frac{5 ^{11} L ^{2}}{9 ^{11}}$
D) $(\frac{9 ^{10} - 5 ^{10}}{9 ^{10}}) L^{2}$
E) $(\frac{5 ^{10} - 9 ^{10}}{9 ^{10}}) L^{2}$

IME20211a faseQuestao 5MatemáticaProgressõesDificil

Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são

3053

3840

4389

. O sétimo termo da sequência é:

A) $3035$
B) $4205$
C) $4398$
D) $4608$
E) $5063$

IME20201a faseQuestao 10MatemáticaProgressõesDificil

Considere a progressão geométrica

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots

e a progressão aritmética

b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots

com as condições:

a_{1} > 0; \frac{a _{2}}{a _{1}} > 1; b_{2} - b_{1} > 0.

Para que

[lo g_{α} (a_{n}) - b_{n}]

não dependa de

n

, o valor de

α

deverá ser:

A) $(\frac{a _{2}}{a _{1}})^{1/ b_{2}}$
B) $(\frac{a _{2}}{a _{1}})^{1/ b_{1}}$
C) $(\frac{a _{2}}{a _{1}})^{1/ (b_{2} - b_{1})}$
D) $(\frac{a _{2}}{a _{1}})^{1/ (b_{1} - b_{2})}$
E) $(\frac{a _{2}}{a _{1}})^{1/ (b_{1} b_{2})}$

IME20191a faseQuestao 2MatemáticaProgressõesMedia

Os ângulos

θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, \dots, θ_{100}

são os termos de uma progressão aritmética na qual

θ_{11} + θ_{26} + θ_{75} + θ_{90} = \frac{π}{4}

. O valor de

sen (\sum_{i = 1}^{100} θ_{i})

é:

A) $- 1$
B) $- \frac{2}{2}$
C) $0$
D) $\frac{2}{2}$
E) $1$

IME20171a faseQuestao 11MatemáticaProgressõesDificil

Sejam uma progressão aritmética

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots)

e uma progressão geométrica

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots)

de termos inteiros, de razão

r

e razão

q

, respectivamente, onde

r

q

são inteiros positivos, com

q > 2

b_{1} > 0

. Sabe-se, também, que

a_{1} + b_{2} = 3

a_{4} + b_{3} = 26

. O valor de

b_{1}

é:

IME20161a faseQuestao 6MatemáticaProgressõesDificil

Sabendo-se que os números reais positivos

a

b

c

formam uma progressão geométrica e que

lo g \frac{5 c}{a}

lo g \frac{3 b}{5 c}

lo g \frac{a}{3 b}

formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que

a

b

c

A)formam os lados de um triângulo obtusângulo.
B)formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.
C)formam os lados de um triângulo equilátero.
D)formam os lados de um triângulo retângulo.
E)não podem formar os lados de um triângulo.

IME20151a faseQuestao 4MatemáticaProgressõesMedia

A soma dos termos de uma progressão aritmética é

244

. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão

1

. Determine a razão da primeira progressão aritmética.

A)7
B)8
C)9
D)10
E)11

IME20141a faseQuestao 12MatemáticaProgressõesMedia

Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é

S_{1}

e a soma de seus quadrados é

S_{2}

. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação

x^{2} - S_{1} x + (S_{2} - \frac{1}{2}) = 0

. A razão desta PA é

A) $\frac{1}{6}$
B) $\frac{6}{6}$
C) $6$
D) $\frac{6}{3}$
E)1

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