Polinômios e identidades · IME

Polinômios e identidades: questões do IME

23 questões de Polinômios e identidades (Matemática) no IME (2007–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Polinômios e identidades no IME

23 no total

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IME20261a faseQuestao 5MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Sabe-se que

i^{2} = - 1

. A equação polinomial

x^{5} + x^{4} + 7 x^{3} + 26 x^{2} + 26 x + 20 = 0

possui uma raiz em

x = \frac{- 1 + i 3}{2}

. A quantidade de raízes reais dessa equação é:

A) $4$
B) $3$
C) $2$
D) $1$
E) $0$

IME20241a faseQuestao 4MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja o polinômio

g (x) = x^{5} + x^{4} - 2 x^{3} + b x^{2} + b x - 2 b

. O valor do maior inteiro

k

para o qual

g (x)

é divisível por

(x + 2)^{k}

para algum

b

inteiro é:

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

IME20221a faseQuestao 7MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja a equação do terceiro grau em

x

x^{3} + p_{1} x^{2} + p_{2} x + p_{3} = 0

onde

p_{1} < p_{2} < p_{3}

são números primos menores que

100

. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de

p_{2} + p_{3}

deve ser:

A) $144$
B) $152$
C) $162$
D) $172$
E) $196$

IME20211a faseQuestao 3MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja a função

f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x - 7

. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos:

(x_{1}, y_{1})

(x_{2}, y_{2})

(x_{3}, y_{3})

(x_{4}, y_{4})

. O valor de

\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4}}{2}

é:

A) $1$
B) $\frac{3}{2}$
C) $2$
D) $\frac{7}{2}$
E) $4$

IME20201a faseQuestao 6MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Um polinômio

P (x)

de grau maior que

3

, quando dividido por

x - 2

x - 3

x - 5

, deixa restos

2

3

5

, respectivamente. O resto da divisão de

P (x)

por

(x - 2) (x - 3) (x - 5)

é:

A) $1$
B) $x$
C) $30$
D) $x - 1$
E) $x - 30$

IME20191a faseQuestao 5MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Sejam

x_{1}

x_{2}

x_{3}

raízes da equação

x^{3} - a x - 16 = 0

. Sendo

a

um número real, o valor de

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}

é igual a:

A) $32 - a$
B) $48 - 2 a$
C) $48$
D) $48 + 2 a$
E) $32 + a$

IME20181a faseQuestao 9MatemáticaPolinômios e identidadesMuito dificil

Seja

P (x)

o polinômio de menor grau que passa pelos pontos

A (2, - 4 + 33)

B (1, 32 - 2)

C (2, 3)

D (3, 2)

. O resto da divisão de

P (x)

por

(x - 3)

é:

A) $83 - 52 - 6$
B) $63 - 42 - 1$
C) $93 - 82 - 2$
D) $43 - 102 - 3$
E) $43 - 2 - 2$

IME20171a faseQuestao 9MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Sejam

x

y

z

números complexos que satisfazem ao sistema de equações abaixo:

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 7 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4}

O valor da soma

x^{3} + y^{3} + z^{3}

é:

A)210
B)235
C)250
D)320
E)325

IME20171a faseQuestao 15MatemáticaPolinômios e identidadesMuito dificil

O polinômio

P (x) = x^{3} - b x^{2} + 80 x - c

possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de

80

e que o produto dos divisores positivos de

c

menores do que

c

c^{2}

. Qual é o valor de

b

A)11
B)13
C)17
D)23
E)29

IME20161a faseQuestao 2MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

O polinômio

x^{3} + a x^{2} + b x + c

tem raízes reais

α

- α

\frac{1}{α}

. Portanto o valor da soma

b + c^{2} + a c + \frac{b}{c ^{2}}

é:

A) $- 2$
B) $- 1$
C) $0$
D) $1$
E) $2$

IME20161a faseQuestao 5MatemáticaPolinômios e identidadesDificil

Seja

P (x) = x^{2} + a x + b

. Sabe-se que

P (x)

P (P (P (x)))

têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que, para todos os valores de

a

b

A) $P (- 1) P (1) < 0$
B) $P (- 1) P (1) = 0$
C) $P (- 1) + P (1) = 2$
D) $P (0) P (1) = 0$
E) $P (0) + P (1) = 0$

IME20151a faseQuestao 6MatemáticaPolinômios e identidadesMedia

Qual o resto da divisão do polinômio

x^{26} - x^{25} - 6 x^{24} + 5 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{2}

pelo polinômio

x^{3} - 3 x^{2} - x + 3

A) $x^{2} + x - 2$
B) $6 x^{2} - 4 x + 3$
C) $3 x - 9$
D) $6 x^{2} - 17 x - 3$
E) $6 x + 1$

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