Números complexos · IME

Números complexos: questões do IME

22 questões de Números complexos (Matemática) no IME (2007–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Números complexos no IME

22 no total

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IME20261a faseQuestao 3MatemáticaNúmeros complexosDificil

Sabe-se que

i^{2} = - 1

. Determine o menor número inteiro positivo

n

que satisfaça a expressão

(\frac{- 3 + i}{2})^{n} = (\frac{- 3 - i}{2})^{n} + 2 i

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $5$
E) $7$

IME20261a faseQuestao 4MatemáticaNúmeros complexosDificil

Sabe-se que

i^{2} = - 1

ar g (z)

é o argumento do complexo

z

. Sejam

z_{1} = 3 + 4 i

z_{2} = 12 + 5 i

. O complexo

z_{3}

é tal que

∣ z_{3} - z_{2} ∣ = 5

ar g (\frac{z _{3} - z _{2}}{z _{1}}) = \frac{π}{2}

. O maior valor possível de

z_{3} \cdot \overline{z_{3}}

é:

A) $82$
B) $128$
C) $260$
D) $306$
E) $320$

IME20241a faseQuestao 3MatemáticaNúmeros complexosDificil

Seja

i

tal que

i^{2} = - 1

. O valor do número real

α

que satisfaz à equação

cis (7 π /6) - 2 cis (- 7 π /6) = - 3 3 /2 i^{5} - i - 3 3 0 α - i /2

é:

A) $3$
B) $3 /2$
C) $3 /4$
D) $3 /8$
E) $3 /16$

IME20241a faseQuestao 9MatemáticaNúmeros complexosDificil

Seja

i

tal que

i^{2} = - 1

. Seja

A

dado pela equação:

A = n = 1 \sum 1000 [(i)^{2 n - 2} ln (\frac{n + 1}{n + 2})^{(- 1)^{n - 1}}]

O valor de

e^{- A}

é:

A) $250$
B) $500$
C) $501$
D) $1000$
E) $1001$

IME20231a faseQuestao 3MatemáticaNúmeros complexosMedia

Considere os conjuntos de números complexos:

A = {x + i y tal que x, y \in R e ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq r}

B = {x + i y tal que x, y \in R e max {∣ x - a ∣, ∣ y - b ∣} \leq c}

, onde

r, a, b

c

são números reais positivos e

max {x_{1}, x_{2}}

é o maior valor entre os reais

x_{1}

x_{2}

. O menor valor de

r

, em função de

a

b

c

, para que se tenha

B \subset A

é:

A) $a + b + c$
B) $(a + b) 2 + c$
C) $2 (a + b) + c$
D) $a + b + 2 c$
E) $2 (a + b + c)$

IME20221a faseQuestao 5MatemáticaNúmeros complexosMuito dificil

Seja

α \in R

z_{1}, z_{2}, z_{3}

números complexos tais que

∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = ∣ z_{3} ∣ = 4

z_{1} \neq = z_{2}

. O menor valor de

∣ α z_{1} - (α - 1) z_{2} - z_{3} ∣

é:

A) $\frac{1}{8} ∣ z_{1} + z_{2} ∣$
B) $\frac{1}{4} ∣ z_{1} - z_{2} ∣$
C) $\frac{1}{8} ∣ z_{3} - z_{1} ∣ ∣ z_{3} - z_{2} ∣$
D) $\frac{1}{4} ∣ z_{1} - z_{2} - z_{3} ∣$
E) $∣ z_{3} ∣$

IME20221a faseQuestao 6MatemáticaNúmeros complexosMedia

Seja o número complexo

z = (1 - 22 i)^{12}

. Sabe-se que

m = ∣ z ∣

. O valor de

x

na expressão

2 x = lo g_{m} (27 m)

é:

A) $\frac{15}{14}$
B) $\frac{5}{14}$
C) $\frac{5}{8}$
D) $\frac{15}{4}$
E) $\frac{3}{8}$

IME20211a faseQuestao 4MatemáticaNúmeros complexosMedia

Sejam

z_{1}

z_{2}

dois números complexos tais que

∣ z_{1} ∣ = 4

∣ z_{2} ∣ = 3

∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 6

. O valor de

∣ z_{1} - z_{2} ∣

é:

A) $7$
B) $\frac{3}{3}$
C) $1$
D) $14$
E) $23$

IME20201a faseQuestao 5MatemáticaNúmeros complexosDificil

Seja

A = {z \in C ∣ 2 \leq ∣ z - 3 - 4 i ∣ \leq 3}

, onde

C

é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto

A

e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto

A

é:

A) $- 16$
B) $- 8$
C) $- \frac{16}{5}$
D) $1$
E) $16$

IME20191a faseQuestao 6MatemáticaNúmeros complexosDificil

Seja

z

um número complexo tal que

z^{12} \in R

Re (z) = 1

ar g (z) \in (0, \frac{π}{2})

. A soma dos inversos dos possíveis valores de

∣ z ∣

está no intervalo:

A) $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$
B) $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$
C) $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$
D) $(\frac{7}{2}, \frac{9}{2})$
E) $(\frac{9}{2}, \frac{11}{2})$

IME20181a faseQuestao 8MatemáticaNúmeros complexosDificil

Seja a função

H : C \to C

definida por

H (s) = \frac{a _{3} s ^{3} + a _{2} s ^{2} + a _{1} s + a _{0}}{b _{2} s ^{2} + b _{1} s + b _{0}}

, com

a_{j}

b_{k}

reais, para

j = 0, 1, 2, 3

k = 0, 1, 2

. Seja a função

f : R \to R

em que

f (w)

é a parte real de

H (i w)

, em que

i = - 1

é a unidade imaginária e

w \in R

. A afirmação correta a respeito de

f (w)

é:

A) $f (w)$ é uma função ímpar.
B) $f (w)$ é uma função par.
C) $f (w)$ é sempre negativa.
D) $f (w)$ é sempre positiva.
E) $f (w)$ é uma função periódica.

IME20171a faseQuestao 3MatemáticaNúmeros complexosDificil

Sejam

Z_{1}

Z_{2}

números complexos tais que

Z_{2}

é imaginário puro e

∣ Z_{1} - Z_{2} ∣ = ∣ Z_{2} ∣

. Para quaisquer valores de

Z_{1}

Z_{2}

que atendam a essas condições tem-se que:

A) $Im (Z_{2}) > 0$
B) $Im (Z_{2}) \leq 0$
C) $∣ Z_{1} ∣ \leq 2 ∣ Z_{2} ∣$
D) $Re (Z_{1}) \geq 0$
E) $Re (Z_{1}) \leq Im (Z_{2})$

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