Logaritmos e funções · IME

Logaritmos e funções: questões do IME

18 questões de Logaritmos e funções (Matemática) no IME (2007–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Logaritmos e funções no IME

18 no total

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IME20261a faseQuestao 12MatemáticaLogaritmos e funçõesMuito dificil

O maior número real

A

tal que

A \leq \frac{lo g _{e} ( x ) - 2 ln ( \frac{x}{e} ) + 6}{3 - ln ( \frac{1}{x ^{5}} ) + ln ( x ^{4} e ^{2} ) - 2}, para todo x \in [1, e),

onde

e

denota o número de Euler, é:

A) $\frac{5}{2}$
B) $\frac{8}{3}$
C) $\frac{e}{2}$
D) $\frac{8}{5}$
E) $\frac{6 e}{5}$

IME20231a faseQuestao 13MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Seja a equação

\frac{14 4 ^{x} + 32 4 ^{x}}{6 4 ^{x} + 72 9 ^{x}} = \frac{6}{7}

. A soma dos módulos das soluções reais desta equação é:

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $8$
E) $9$

IME20221a faseQuestao 3MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função

f (x) = ln (- \frac{7}{12} + x - x^{2}^{3 x - 1})

e que passam pelo ponto

(\frac{1}{3}, f (\frac{1}{3}))

. O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:

A) $- 3 ln (3)$
B) $\frac{1}{2} ln (\frac{1}{3})$
C) $3 ln (\frac{13}{36})$
D) $0$
E) $\frac{1}{2}$

IME20211a faseQuestao 10MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Seja a equação

7^{4 x} - 10 \cdot 7^{3 x} + 17 \cdot 7^{2 x} + 40 \cdot 7^{x} = 12 \cdot 7.

Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:

A)pode-se construir um triângulo escaleno.
B)pode-se construir um triângulo isósceles.
C)pode-se construir um quadrilátero.
D)pode-se construir um pentágono.
E)não é possível construir qualquer polígono.

IME20211a faseQuestao 11MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Considere o sistema de equações:

⎩ ⎨ ⎧ lo g (- 2 x + 3 y + k) = lo g (3) + lo g (z) lo g_{x} (1 - y) = 1 x + z = 1

onde

x

y

z

são variáveis e

k

é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:

A) $k < - 2$
B) $- 2 < k < 0$
C) $0 < k < 2$
D) $2 < k < 4$
E) $k > 4$

IME20201a faseQuestao 4MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Sabe-se que

S = x + y + z

, onde

x

y

z

são soluções inteiras do sistema abaixo.

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{3 2 y ^{2}}{2} y = e^{2 l n (x)} lo g_{2} y + lo g_{x} z = x + 3

O valor de

S

é:

A) $84$
B) $168$
C) $234$
D) $512$
E) $600$

IME20201a faseQuestao 8MatemáticaLogaritmos e funçõesMuito dificil

Uma progressão geométrica é formada com os números naturais

A

B

C

, nessa ordem. O

lo g (A)

possui a mesma mantissa,

M

, do

lo g (B)

C

é a característica do

lo g (A)

. Sabe-se que

M = lo g (C)

e que

C

possui o maior valor possível. O valor da mantissa do

lo g (A B C)

é:

A) $M$
B) $2 M$
C) $3 M$
D) $3 M - 2$
E) $3 M - 3$

IME20181a faseQuestao 11MatemáticaLogaritmos e funçõesMuito dificil

Determine o valor de

a

na expressão abaixo, sabendo-se que

0 < a < 1

\frac{1}{16} lo g_{a} 25 6^{colog_{(a^{2})} 25 6^{l o g_{(a^{4})} 25 6^{\dots^{colog_{(a^{2^{65}})} 256}}}} = Im {Z}

onde

Z

é um número complexo que satisfaz a equação

2^{4033} Z^{2} - 2^{2017} Z + 1 = 0

. Obs.:

Im {Z}

é a parte imaginária do número complexo

Z

A) $\frac{1}{4}$
B) $\frac{1}{8}$
C) $\frac{1}{16}$
D) $\frac{1}{32}$
E) $\frac{1}{64}$

IME20171a faseQuestao 7MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Seja a equação

y^{l o g_{3} 3 y} = y^{l o g_{3} 3 y} - 6, y > 0.

O produto das raízes reais desta equação é igual a:

A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{3}{4}$
D)2
E)3

IME20161a faseQuestao 10MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Quantos inteiros

k

satisfazem à desigualdade

2 lo g_{10} k - 1 + 10 lo g_{1 0^{- 1}} k^{1/4} + 3 > 0

A) $10$
B) $89$
C) $90$
D) $99$
E) $100$

IME20151a faseQuestao 2MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Sejam

x

y

números reais não nulos tais que:

⎩ ⎨ ⎧ lo g_{x} y^{π} + lo g_{y} x^{e} = a \frac{1}{lo g _{y} x ^{π^{- 1}}} - \frac{1}{lo g _{x} y ^{e^{- 1}}} = b

O valor de

\frac{x ^{a + b + 2 e}}{y ^{a - b + 2 π}}

é:

A)1
B) $\frac{π}{e}$
C) $\frac{a \cdot e}{b \cdot π}$
D) $a - b$
E) $\frac{( a + b ) ^{e / π}}{π}$

IME20141a faseQuestao 4MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

Sabe-se que

y \cdot z \cdot z \cdot x = x \cdot y^{3} \cdot z^{2} = \frac{x}{z \cdot y \cdot z} = e

, em que

e

é a base dos logaritmos naturais. O valor de

x + y + z

A) $e^{3} + e^{2} + 1$
B) $e^{2} + e^{- 1} + e$
C) $e^{3} + 1$
D) $e^{3} + e^{- 2} + e$
E) $e^{3} + e^{- 2} + e^{- 1}$

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