Geometria plana · IME

Geometria plana: questões do IME

16 questões de Geometria plana (Matemática) no IME (2008–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Geometria plana no IME

16 no total

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IME20261a faseQuestao 14MatemáticaGeometria planaDificil

A imagem abaixo mostra um círculo de raio

r

, um quadrado de lado

L

e um retângulo. Os pontos em preto indicam o centro da circunferência e os locais de contato entre ela e as demais figuras. A área de interseção do quadrado com o retângulo abaixo é

11 u^{2}

. O valor, em unidade

u

, do raio

r

da circunferência é:

Imagens anexadas

A) $7$
B) $11$
C) $5$
D) $11$
E) $211$

IME20241a faseQuestao 13MatemáticaGeometria planaDificil

Considere uma barra

A B

de comprimento

L

fixada na posição vertical sobre um muro de altura

L /2

, que está assentado sobre um plano horizontal. Desprezando a altura do observador

O

, o ângulo máximo

A \hat{O} B

enquanto o observador

O

caminha sobre o plano horizontal é:

A) $3 0^{\circ}$
B) $6 0^{\circ}$
C) $7 5^{\circ}$
D) $1 5^{\circ}$
E) $4 5^{\circ}$

IME20231a faseQuestao 12MatemáticaGeometria planaDificil

Um triângulo

A B C

possui incentro

I

e ex-incentro

G

relativo ao lado

B C

. Se

B \hat{I} C + A \hat{G} C = 15 5^{\circ}

, então o ângulo

A \hat{C} B

é:

A) $3 0^{\circ}$
B) $4 5^{\circ}$
C) $5 0^{\circ}$
D) $6 0^{\circ}$
E) $9 0^{\circ}$

IME20211a faseQuestao 14MatemáticaGeometria planaDificil

Considere um trapézio de bases

A B

C D

, com o ponto

I

sendo a interseção de suas diagonais. Se as áreas dos triângulos

A I B

C I D

formados pelas diagonais são

9 cm^{2}

16 cm^{2}

, respectivamente, a área do trapézio, em

cm^{2}

, é:

A)Não é possível determinar por terem sido fornecidos dados insuficientes.
B) $63$
C) $50$
D) $49$
E) $45$

IME20191a faseQuestao 13MatemáticaGeometria planaDificil

Em um setor circular de

4 5^{\circ}

, limitado pelos raios

\overline{O A}

\overline{O B}

iguais a

R

, inscreve-se um quadrado

M N P Q

, onde

\overline{M N}

está apoiado em

\overline{O A}

e o ponto

Q

sobre o raio

\overline{O B}

. Então, o perímetro do quadrado é:

A) $4 R$
B) $2 R$
C) $2 R 2$
D) $4 R 5$
E) $4 R \frac{5}{5}$

IME20181a faseQuestao 14MatemáticaGeometria planaDificil

Seja um heptágono regular de lado

l

cuja menor diagonal vale

d

. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?

A) $\frac{l \cdot d}{d - l}$
B) $\frac{d ^{2}}{d - l}$
C) $\frac{l \cdot d}{d + l}$
D) $\frac{l ^{2}}{d + l}$
E) $\frac{3 \cdot d}{2}$

IME20171a faseQuestao 13MatemáticaGeometria planaDificil

Dado um quadrado

A B C D

, de lado

a

, marcam-se os pontos

E

sobre o lado

A B

F

sobre o lado

B C

G

sobre o lado

C D

H

sobre o lado

A D

, de modo que os segmentos

A E

B F

C G

D H

tenham comprimento igual a

\frac{3 a}{4}

. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos

A F

B G

C H

D E

mede:

A) $\frac{a ^{2}}{25}$
B) $\frac{a ^{2}}{18}$
C) $\frac{a ^{2}}{16}$
D) $\frac{a ^{2}}{9}$
E) $\frac{2 a ^{2}}{9}$

IME20161a faseQuestao 13MatemáticaGeometria planaDificil

Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem

a

e duas delas valem

b

. O valor máximo da relação

(\frac{b}{a})^{2}

A) $2$
B) $1 + 3$
C) $2 + 3$
D) $1 + 22$
E) $2 + 23$

IME20151a faseQuestao 13MatemáticaGeometria planaMedia

Seja um trapézio retângulo de bases

a

b

com diagonais perpendiculares. Determine a área do trapézio.

A) $\frac{ab}{2}$
B) $(\frac{a + b}{2})^{2}$
C) $(\frac{a + b}{2}) ab$
D) $(\frac{2 a + b}{2}) ab$
E) $(\frac{a + b}{2}) a^{2} b$

IME20141a faseQuestao 7MatemáticaGeometria planaMedia

Sejam uma circunferência

C

com centro

O

e raio

R

, e uma reta

r

tangente a

C

no ponto

T

. Traça-se o diâmetro

A B

oblíquo a

r

. A projeção de

A B

sobre

r

é o segmento

P Q

. Sabendo que a razão entre

O Q

e o raio

R

\frac{7}{2}

, o ângulo, em radianos, entre

A B

P Q

A) $\frac{π}{4}$
B) $\frac{π}{6}$
C) $\frac{5 π}{18}$
D) $\frac{π}{3}$
E) $\frac{7 π}{18}$

IME20131a faseQuestao 7MatemáticaGeometria planaDificil

Seja um triângulo

A B C

A H

é a altura relativa de

B C

, com

H

localizado entre

B

C

. Seja

B M

a mediana relativa de

A C

. Sabendo que

B H = A M = 4

, a soma dos possíveis valores inteiros de

B M

A)11
B)13
C)18
D)21
E)26

IME20131a faseQuestao 14MatemáticaGeometria planaDificil

A figura abaixo é formada por arcos de circunferência tangentes cujos centros formam um pentágono regular inscritível em uma circunferência de raio

R

. O perímetro da figura é

Imagens anexadas

A) $\frac{7 π R}{2} 10 - 25$
B) $\frac{7 π R}{4} 10 + 5$
C) $\frac{7 π R}{2} 10 + 25$
D) $\frac{7 π R}{4} 10 + 25$
E) $\frac{7 π R}{4} 10 - 25$

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