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Geometria espacial · IME

Geometria espacial: questões do IME

22 questões de Geometria espacial (Matemática) no IME (2007–2026). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Geometria espacial no IME

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IME20261a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialDificil
é um octaedro regular de aresta , tal que suas diagonais são , e . é o ponto sobre a aresta tal que , é o ponto sobre a aresta tal que e é o ponto sobre a aresta tal que . O ângulo é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20241a faseQuestao 14MatemáticaGeometria espacialDificil
Sejam e dois planos não paralelos que se interceptam na reta e cujo ângulo diedro é radianos. Tome pontos de e, por cada um destes pontos, trace retas ortogonais a que interceptam nos pontos , respectivamente. Sabendo que o quadrilátero é um trapézio cuja diagonal é paralela a , a razão entre as áreas de e é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20231a faseQuestao 6MatemáticaGeometria espacialDificil
Seja um tetraedro de vértices , , e . São dados os ângulos em radianos: e , e os comprimentos das arestas em centímetros e . A distância em centímetros do ponto ao plano é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20221a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialMuito dificil
Seja o cone de revolução de raio de base e altura com a base apoiada em um solo horizontal. Um ponto luminoso está localizado a uma altura do solo e distante, horizontalmente, do centro da base do cone. A área da região iluminada no cone é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20211a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialDificil
Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura da bebida, em cm, em relação à base pentagonal satisfaz:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20201a faseQuestao 13MatemáticaGeometria espacialMuito dificil
Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo ângulo desigual mede . O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20201a faseQuestao 14MatemáticaGeometria espacialDificilAnulada
Em um cubo regular de aresta , os pontos , e pertencentes às três arestas distintas que partem do vértice estão a uma distância de tal que . Para que o plano seja tangente à esfera inscrita no cubo, o valor de é:
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20191a faseQuestao 14MatemáticaGeometria espacialMedia
Considere as afirmações abaixo: I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares; II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano; III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos; IV) duas retas não paralelas determinam um plano; V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta. Entre essas afirmações:
  1. A)apenas uma é verdadeira;
  2. B)apenas duas são verdadeiras;
  3. C)apenas três são verdadeiras;
  4. D)apenas quatro são verdadeiras;
  5. E)todas são verdadeiras.
IME20191a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialMuito dificil
Em um tetraedro , os ângulos e são idênticos e a aresta é ortogonal à . A área do é igual à área do , e o ângulo é igual ao ângulo , onde é ponto médio de . Calcule a área total do tetraedro , em cm², sabendo que , e que o ângulo é igual a .
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20181a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialMedia
Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão . Sua área total é de . Calcule o valor da diagonal do referido prisma.
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20171a faseQuestao 14MatemáticaGeometria espacialDificil
Um tronco de pirâmide regular possui vértices. A soma dos perímetros das bases é cm, a soma das áreas das bases é cm² e sua altura mede cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide.
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
IME20161a faseQuestao 15MatemáticaGeometria espacialDificil
Sejam dois quadrados de lado situados em planos distintos paralelos entre si, a uma distância um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido . Qual a distância entre esses planos, em função de , de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?
  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. E)
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