Geometria analítica: reta e mediatriz · IME

Geometria analítica: reta e mediatriz: questões do IME

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Questões de Geometria analítica: reta e mediatriz no IME

25 no total

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IME20261a faseQuestao 13MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere a hipérbole dada pela equação

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1

. Sejam

F

F^{'}

seus focos, onde

F

pertence ao semieixo positivo e

F^{'}

ao semieixo negativo. Seja

T

o ponto simétrico ao foco

F

em relação à assíntota de coeficiente angular positivo. O valor do raio do círculo inscrito ao triângulo

F^{'} T F

é:

A) $2$
B) $3$
C) $7$
D) $\frac{3}{2}$
E) $6$

IME20241a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere duas circunferências no plano cartesiano

O x y

, uma de raio igual a

6

e centro no ponto

(6, 6)

e outra de centro na origem e tangente exteriormente à primeira. A equação da tangente interior comum às circunferências é:

A) $y + 2 x - 3 (2 - 2) = 0$
B) $2 y + x + 6 (2 - 2) = 0$
C) $y + x + 6 (2 - 2) = 0$
D) $y + x - 6 (2 - 2) = 0$
E) $2 y + x - 6 (2 - 2) = 0$

IME20231a faseQuestao 10MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere um ponto

P

cujas coordenadas

(x, y)

x, y \in R

, satisfazem o sistema

{4 cossec (α) x - 6 cotg (α) y = 4 sen (α) 12 cossec (α) y - 8 cotg (α) x = 0

onde

α

é um ângulo em radianos diferente de

k π

(

k \in Z

). O lugar geométrico descrito pelos pontos

P

, conforme se varia o ângulo

α

, é um segmento de:

A)reta horizontal.
B)reta vertical.
C)reta inclinada.
D)elipse.
E)parábola.

IME20231a faseQuestao 14MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Se a equação

2 x^{2} + c x y - 3 x + 6 y^{2} - 4 y - 2 = 0

representa no plano real duas retas concorrentes, então o valor positivo do número real

c

é:

A) $6$
B) $7$
C) $8$
D) $9$
E) $10$

IME20221a faseQuestao 13MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere o ponto

A (- 4, 2)

B

um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. Traçam-se as retas

A B

e, por

B

, a perpendicular a

A B

que intercepta o eixo das abcissas em

C

. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por

C

com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por

B

. A equação desse lugar geométrico é:

A) $x^{2} = 4 y + 1$
B) $y^{2} = 4 x$
C) $y = - x + 2$
D) $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$
E) $(y - 1)^{2} = 4 x + 1$

IME20221a faseQuestao 14MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Considere os triângulos

△ A B C

em que

\overline{B C} = 32

\frac{A B}{A C} = 3

. O maior valor possível para a altura relativa ao lado

\overline{B C}

é:

A) $8$
B) $9$
C) $10$
D) $11$
E) $12$

IME20211a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMedia

No que diz respeito à posição relativa das circunferências representadas pelas equações

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 11

x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 16

pode-se afirmar que elas são:

A)exteriores.
B)tangentes exteriores.
C)tangentes interiores.
D)concêntricas.
E)secantes.

IME20201a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

O lugar geométrico definido pela equação

x^{2} + 3 y^{2} + 5 = 2 x - x y - 4 y

representa

A)uma elipse.
B)uma hipérbole.
C)uma circunferência.
D)um conjunto vazio.
E)duas retas paralelas.

IME20191a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de

4 5^{\circ}

no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:

A) $x y = 2$
B) $x^{2} + x y - y^{2} = 4$
C) $x^{2} - y^{2} = 2$
D) $x y = - 2$
E) $x^{2} - y^{2} = - 2$

IME20181a faseQuestao 13MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizMuito dificil

Seja uma elipse com focos no eixo

O X

e centrada na origem. Seus eixos medem

10

\frac{20}{3}

. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo

O Y

, na origem, têm as seguintes equações:

A) $y^{2} = \pm 2 \frac{35}{7} x$
B) $y^{2} = \pm 4 \frac{5}{7} x$
C) $y^{2} = \pm 6 \frac{5}{7} x$
D) $y^{2} = \pm 6 \frac{35}{7} x$
E) $y^{2} = \pm 8 \frac{35}{63} x$

IME20171a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Sejam os pontos

A (0, 0)

B (- 1, 1)

C (1, 2)

D (4, 1)

E (3, \frac{1}{2})

. A reta

r

passa por

A

e corta o lado

C D

, dividindo o pentágono

A B C D E

em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta

r

com a reta que liga

C

D

A) $\frac{25}{7}$
B) $\frac{51}{14}$
C) $\frac{26}{7}$
D) $\frac{53}{14}$
E) $\frac{27}{7}$

IME20161a faseQuestao 12MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

O lugar geométrico dos pontos em

R^{2}

equidistantes às retas de equações

4 x + 3 y - 2 = 0

12 x - 16 y + 5 = 0

A) $4 x + 28 y + 13 = 0$
B) $8 x - 7 y - 13 = 0$
C) $28 x - 4 y - 3 = 0$
D) $56 x^{2} + 388 x y - 184 x - 56 y^{2} - 16 y + 19 = 0$
E) $112 x^{2} + 768 x y - 376 x - 112 y^{2} - 32 y + 39 = 0$

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