Geometria espacial · Escola Naval

Geometria espacial: questões do Escola Naval

11 questões de Geometria espacial (Matemática) no Escola Naval (2020–2025). Treine de graça com correção e comentário.

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Questões de Geometria espacial no Escola Naval

11 no total

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Escola Naval2025Dia 1Questao 6MatemáticaGeometria espacialMuito dificil

Uma esfera de raio

54

cm é seccionada por planos perpendiculares a um diâmetro, dividindo-o em partes proporcionais a

2

3

4

e determinando os sólidos

S_{2}

S_{3}

S_{4}

, respectivamente. Suponha que

S_{3}

contenha o centro da esfera e que

C_{k}

é a razão entre o volume e a área total de

S_{k}

, para

k = 2, 3

4

. Calcule o valor de

C = C_{2} + C_{3} + C_{4}

e assinale a opção correta.

A) $10 < C < 15$
B) $15 < C < 20$
C) $20 < C < 25$
D) $25 < C < 30$
E) $30 < C < 35$

Escola Naval2024Dia 1Questao 7MatemáticaGeometria espacialDificil

Analise a figura a seguir. Seja o paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH com medidas AB = 4cm, AD = 8cm e AE = 5cm, conforme a figura acima. Considerando o ponto P como o centro do paralelepípedo, é correto afirmar que a distância, em cm, de P ao plano BDE é igual a:

Imagens anexadas

A) $\frac{10}{189}$
B) $\frac{20}{189}$
C) $\frac{35}{2 105}$
D) $\frac{30}{189}$
E) $\frac{35}{105}$

Escola Naval2024Dia 1Questao 10MatemáticaGeometria espacialMediaAnulada

Seja a reta r oblíqua a um plano

φ

pelo ponto A. Considere que a reta

s \subset φ

é a projeção ortogonal de r sobre

φ

e a reta

t \subset φ

que passa por A. Se

θ

é o ângulo entre r e s e

β

é o ângulo entre r e t, assinale a opção que apresenta a correta relação entre esses ângulos.

A) $θ < β$
B) $θ = β$
C) $β < θ$
D) $θ = 2 β$
E) $2 β < θ$

Escola Naval2024Dia 1Questao 19MatemáticaGeometria espacialDificil

Na partida de futebol entre Alemanha e Japão na Copa do Mundo de 2022, no lance que originou o segundo gol do Japão, por 1,88mm, a bola não passou totalmente pela linha de fundo (linha branca), como mostram as figuras 1, 2 e 3 apresentadas abaixo. (Fonte: www.mirror.co.uk/sport/football/news/fifa-statement-japan-goal-germany-28641190 e www.facebook.com/SuperLigInternationalOrginal) Sabe-se que a parte da bola sobre a linha branca equivale a uma calota esférica de altura 1,88mm e volume

V_{C}

. Considerando a bola de futebol uma esfera de raio 70cm e volume V, assinale a opção que apresenta corretamente a relação entre V e

V_{C}

Imagens anexadas

A)0,1% de V < $V_{C}$ < 1% de V
B)0,01% de V < $V_{C}$ < 0,1% de V
C)0,001% de V < $V_{C}$ < 0,01% de V
D)0,0001% de V < $V_{C}$ < 0,001% de V
E) $V_{C}$ < 0,0001%

Escola Naval2023Dia 1Questao 16MatemáticaGeometria espacialDificil

Seja o cubo

A B C D E F G H

de aresta 2 cm e

I

J

K

pontos médios das arestas

E H

D H

A B

, respectivamente. O volume da pirâmide

G I J K

, em cm

^{3}

, é igual a:

Imagens anexadas

A) $\frac{7}{6}$
B) $\frac{3}{2}$
C) $\frac{5}{4}$
D) $\frac{11}{8}$
E) $\frac{13}{12}$

Escola Naval2023Dia 1Questao 21MatemáticaGeometria espacialMuito dificil

Uma perpendicular de comprimento

p

é traçada do pé da altura de uma pirâmide regular

S A B C

até uma aresta lateral (

S C

S B

S A

). Assinale a opção que apresenta o volume da pirâmide

S A B C

se o ângulo entre suas faces é

2 α

A) $\frac{6}{5} p^{2} \frac{tg ^{2} ( α )}{2 - cotg ^{2} ( α )}$
B) $\frac{1}{12} p^{2} \frac{cotg ^{2} ( 2 α )}{3 - tg ^{2} ( α )}$
C) $\frac{2}{3} p^{3} \frac{tg ^{2} ( 2 α )}{2 - cotg ^{2} ( α )}$
D) $\frac{3}{2} p^{2} \frac{tg ^{2} ( α )}{1 - cotg ^{2} ( 2 α )}$
E) $\frac{9}{4} p^{3} \frac{tg ^{2} ( α )}{3 - cotg ^{2} ( α )}$

Escola Naval2022Dia 1Questao 1MatemáticaGeometria espacialDificil

Em um teste de prova num laboratório de engenharia civil, cilindros, circulares retos, de concreto de altura 3 dm e raio 1 dm, cada um, serão depositados em um recipiente no formato de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 10 dm x 8 dm x 5,48 dm, conforme figura abaixo. Após a maior quantidade possível de cilindros ser colocada no recipiente, este será preenchido com água em sua totalidade. Sendo assim, a opção que mais se aproxima do volume de água, em litros, colocado no recipiente é:

Imagens anexadas

A)59
B)68
C)99
D)115
E)153

Escola Naval2022Dia 1Questao 11MatemáticaGeometria espacialMedia

Um fabricante de bolas de tênis (bolas em formatos esféricos) deseja vender as bolas em embalagens cilíndricas (cilindros circulares retos) de raio

R

e altura

H

, cada uma. Em cada embalagem há

n

bolas de tênis de raio

R

, cada bola. O fabricante deseja que a área total das superfícies das bolas seja igual à área lateral da embalagem (cilindro). Dessa forma, é correto afirmar que:

A) $R = \frac{H}{n}$
B) $R = \frac{H}{2 n}$
C) $R = \frac{H}{3 n}$
D) $R = \frac{2 H}{3 n}$
E) $R = \frac{3 H}{4 n}$

Escola Naval2022Dia 1Questao 12MatemáticaGeometria espacialMuito dificil

Suponha que a base de um paralelepípedo reto seja um paralelogramo de lados

a

b

. Suponha, ainda, que o ângulo obtuso desse paralelogramo seja

β

. Sabendo que a menor diagonal do paralelepípedo é igual à maior diagonal do paralelogramo, assinale a opção que apresenta o volume do paralelepípedo em função de

a

b

β

A) $2 ab sen (β) - ab \cdot cos (β)$
B) $2 ab sen (β) ab \cdot sen (β)$
C) $2 ab cos (β) - ab \cdot sen (β)$
D) $2 ab (- cos (β)) - ab \cdot cos (β)$
E) $2 ab (- sen (β)) ab \cdot cos (β)$

Escola Naval2020Dia 1Questao 3MatemáticaGeometria espacialMuito dificil

Seja

V A B C D

uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado

1

P

uma extensão do segmento

V A

, de modo que

A \in V P

A P = \frac{1}{2}

. Considerando um plano

π

determinado por

P

e os pontos médios dos segmentos

B C

A D

, determine a área de intersecção entre a pirâmide e o plano

π

e assinale a opção correta.

A) $\frac{16 11}{7}$
B) $\frac{7 11}{16}$
C) $\frac{7 11}{64}$
D) $\frac{64 11}{7}$
E) $\frac{32 11}{7}$

Escola Naval2020Dia 1Questao 12MatemáticaGeometria espacialDificil

O volume de um cubo de aresta

2 x

excede em

27

unidades o volume de um paralelepípedo retângulo com

54

unidades de área da base e altura

x

. Sendo assim, o valor de

x

A) $8 cos (4 0^{\circ})$
B) $3 cos (2 0^{\circ})$
C) $8 cos (2 0^{\circ})$
D) $9 cos (4 0^{\circ})$
E) $2 cos (3 0^{\circ})$

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